Get the simplified Ganita Prakash Class 6 Solutions and Class 6 Maths Chapter 2 Solutions in Hindi Medium रेखाएँ और कोण textbook exercise question answer with complete explanation.
Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 2 Solutions in Hindi Medium
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 15-17)
प्रश्न 1.
रिहान ने एक कागज पर एक बिंदु अंकित किया। वह उस बिंदु से जाने वाली कितनी रेखाएँ बना सकता है?
शीतल ने एक कागज पर दो बिंदु अंकित किए। वह उन दोनों बिंदुओं से गुजरती हुई कितनी भिन्न रेखाएँ बना सकती हैं?
क्या आप रिहान और शीतल को उनके उत्तर ज्ञात करने में मदद कर सकते हैं?
हल:
रिहान: अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ, जैसी नीचे दर्शाई गई हैं :
शीतल: केवल एक जैसी नीचे दर्शाई गई है :
प्रश्न 2.
आकृति 2.4 में दिए गए रेखाखंडों के नाम लिखिए। पाँच अंकित बिंदुओं में से कौन-से केवल एक रेखाखंड पर स्थित हैं? कौन-से बिंदु किन्हीं दो रेखाखंडों पर स्थित हैं?
हल:
रेखाखंड हैं: \(\overline{\mathrm{LM}}\), \(\overline{\mathrm{MP}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) और \(\overline{\mathrm{QR}}\)।
ठीक एक ही रेखाखंड पर स्थित बिंदु हैं: L और R।
दो रेखाखंडों पर स्थित बिंदु हैं: M (\(\overline{\mathrm{LM}}\) और \(\overline{\mathrm{MP}}\) पर); P (\(\overline{\mathrm{MP}}\) और \(\overline{\mathrm{PQ}}\) पर) तथा Q (\(\overline{\mathrm{PQ}}\) और \(\overline{\mathrm{QR}}\) पर)।
प्रश्न 3.
आकृति 2.5 में दी गई किरणों के नाम लिखिए। क्या T प्रत्येक किरण का प्रारंभिक बिंदु है?
हल:
किरणें हैं: \(\overrightarrow{\mathrm{TA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{TN}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{TB}}\)। इन सभी किरणों का प्रारंभिक बिंदु T है। परंतु, एक किरण और है (\(\overrightarrow{\mathrm{NB}}\)), जिसका प्रारंभिक बिंदु T नहीं है। यह बिंदु N है।
प्रश्न 4.
एक कच्ची (rough) आकृति बनाइए और नीचे दिए गए प्रत्येक बिंदु का उपयुक्त नामांकन कीजिए:
(a) \(\overleftrightarrow{\mathrm{OP}}\) और \(\overleftrightarrow{\mathrm{OQ}}\) बिंदु O पर मिलते हैं।
(b) \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\) और \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(c) रेखा l पर बिंदु E और F स्थित हैं पर बिंदु D स्थित नहीं है।
(d) बिंदु P, AB पर स्थित है।
हल:
प्रश्न 5.
आकृति 2.6 में निम्नलिखित के नाम बताइए-
(a) पाँच बिंदु
(b) एक रेखा
(c) चार किरणें
(d) पाँच रेखाखंड
हल:
(a) पाँच बिंदु B, O, C, D और E हैं।
(b) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BD}}\) (या \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DE}}\) या \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EO}}\) या \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DO}}\) या \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BO}}\) या \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BE}}\)) (एक ही रेखा)।
(c) \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{EB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{DB}}\)
(d) \(\overline{\mathrm{DE}}\), \(\overline{\mathrm{DO}}\), \(\overline{\mathrm{EO}}\), \(\overline{\mathrm{OB}}\) और \(\overline{\mathrm{OC}}\)।
प्रश्न 6.
आकृति 2.7 में \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) एक किरण है। यह O से शुरू होती है और बिंदु A से गुजरती है। यह बिंदु B से भी गुजरती है।
(a) क्या हम इसे \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) भी नाम दे सकते हैं? क्यों?
(b) क्या हम \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) को \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) लिख सकते हैं? क्यों अथवा क्यों नहीं?
हल:
(a) हाँ। क्योंकि यह भी O से प्रारंभ होती है तथा अनिश्चित रूप से उसी दिशा में विस्तृत होती है, जिस दिशा में A है।
(b) नहीं। क्योंकि \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) का प्रारंभिक बिंदु O है तथा \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) का प्रारंभिक बिंदु A है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 19-21)
प्रश्न 1.
क्या आप दी गई आकृतियों में कोण ढूँढ़ सकते हैं? किसी भी एक कोण की भुजाएँ बनाइए और शीर्ष का नाम बीजिए।
हल:
हाँ। साइकिल के चित्र में शीर्ष D है तथा किरणें \(\overrightarrow{\mathrm{DA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{DB}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{DC}}\) हैं। बनने वाले कोण ∠ADB, ∠BDC और ∠ADC हैं।
उपरोक्त आकृति में, बिंदुओं A, B, C, P, Q और R को अंकित किया गया है। एक कोण में शीर्ष A है तथा कोण ∠BAC है। अन्य में, P शीर्ष है तथा कोण ∠QPR है।
पहले चित्र में, कोण ∠POQ है और शीर्ष O है। अन्य चित्र में, कोण ∠BAC है और शीर्ष A है।
प्रश्न 2.
भुजा ST और SR को चिह्नित करते हुए कोण बनाइए।
हल:
नीचे दर्शाए अनुसार कोण खींचा गया है तथा चिह्नित किया गया है:
प्रश्न 3.
व्याख्या कीजिए कि ∠APC को ∠P क्यों नहीं लिखा जा सकता है?
हल:
∠APC को ∠P इसलिए नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि इस आकृति में ऐसे दो कोण ∠APB और ∠BPC हैं, जिनका शीर्ष भी P ही है।
प्रश्न 4.
नीचे दी गई आकृति में अंकित कोणों के नाम लिखिए।
हल:
ये कोण ∠PTR और ∠QTR हैं।
प्रश्न 5.
अपने कागज पर तीन बिंदु इस प्रकार अंकित कीजिए कि वे एक रेखा पर स्थित न हों। उन्हें A, B और C से चिह्नित कीजिए। सभी संभव रेखाएँ खींचिए, जो इन बिंदु-युग्मों से गुजरती हों। इस प्रकार आपको कितनी रेखाएँ प्राप्त होती हैं? उनके नाम भी बताइए। A, B और C का प्रयोग करते हुए आप कितने कोण बना सकते हैं? उन सभी के नाम लिखिए और आकृति 2.9 (पाठ्यपुस्तक में) के अनुसार उनमें से प्रत्येक को एक चाप के साथ चिह्नित कीजिए।
हल:
आकृति नीचे दर्शाए अनुसार खींची गई हैं:
हमें तीन रेखाएँ प्राप्त होती हैं। ये \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) और \(\overleftrightarrow{\mathrm{CA}}\) हैं। A का उपयोग करते हुए, हम एक कोण BAC नामांकित कर सकते हैं। B का उपयोग करते हुए, हम एक कोण ABC नामांकित कर सकते हैं तथा C का उपयोग करते हुए, हम एक कोण BCA नामांकित कर सकते हैं। [देखें आकृति (i)] परंतु बिंदुओं A, B और C में से प्रत्येक बिंदु पर चार कोण बनते हैं। [देखें आकृति (ii)]
प्रश्न 6.
अपने कागज पर चार बिंदु इस प्रकार अंकित कीजिए कि उनमें से कोई भी तीन बिंदु एक रेखा पर न हों। उन्हें A, B, C और D से चिह्नित कीजिए। सभी संभव रेखाएँ खींचिए, जो इन बिंदु-युग्मों से गुजरती हों। इस प्रकार आपको कितनी रेखाएँ प्राप्त होती हैं? उनके नाम भी बताइए। आप A, B, C और D से कितने कोणों का नामकरण कर सकते हैं? उन्हें लिखिए और उनमें से प्रत्येक को आकृति 2.9 (पाठ्यपुस्तक में) के अनुसार चाप द्वारा अंकित कीजिए।
हल:
आकृति नीचे दर्शाए अनुसार खींची गई हैं।
इन बिंदुओं के युग्मों से होकर हम 6 रेखाएँ खींच सकते हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इन रेखाओं को \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{DA}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{AC}}\) और \(\overleftrightarrow{\mathrm{BD}}\) के रूप में नामित किया गया है। बिंदुओं A, B, C और D में से प्रत्येक पर, आकृति में 6 कोण अंकित किए गए हैं। इस प्रकार, यहाँ कुल 24 कोण हैं। वस्तुतः, किरणों के विभिन्न युग्म लेकर, अनेक और कोण भी हो सकते हैं, परंतु इस स्तर पर आकृति में इन कोणों को दर्शाना कठिन होगा।
A, B, C और D के उपयोग से, हम निम्न कोण नामांकित कर सकते हैं: ∠DAB, ∠DAC, ∠CAB (A पर तीन कोण); ∠ABC, ∠ABD, ∠DBC (B पर तीन कोण); ∠BCD, ∠BCA, ∠ACD (C पर तीन कोण); ∠CDA, ∠CDB, ∠ADB (D पर तीन कोण)। अत:, A, B, C और D का उपयोग करते हुए, कुल 12 कोण नमांकित किए जा सकते हैं। [देखें आकृति (ii)]
पृष्ठ 21
क्या दो कोणों की तुलना हमेशा सरल होती है?
ऊपर कुछ को दिए गए हैं। प्रत्येक कोण को चिह्नित कीजिए। आप उनकी तुलना कैसे करेंगे?
हल:
कभी-कभी यह सरल होती है, परंतु सदैव नहीं । उपरोक्त कोणों की तुलना हम केवल प्रेक्षित करके कर सकते हैं। यहाँ हम प्राप्त करते हैं कि ∠POQ < ∠RST < ∠DEF < ∠ABC हैं।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 23)
प्रश्न 1.
एक आयताकार कागज को मोड़िए। अब घुमाव (मोड़) के निशान पर एक रेखा खींचिए। घुमाव और कागज़ की भुजाओं के बीच बने कोणों को नाम दीजिए और उन कोणों की तुलना कीजिए। आयताकार कागज को घुमाकर विभिन्न कोण बनाइए एवं उनकी तुलना कीजिए। यह भी बताइए कि इनमें से कौन-सा कोण सबसे बड़ा है। और कौन-सा कोण सबसे छोटा है?
हल:
मोड़ के निशान PQ और भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण ∠APQ, ∠BPQ, ∠DQP और ∠CQP हैं। ∠APQ और ∠CQP बराबर हैं तथा ये दोनों कोण सबसे बड़े हैं। ∠BPQ और ∠DQP बराबर हैं तथा ये दोनों कोण सबसे छोटे हैं।
प्रश्न 2.
प्रत्येक स्थिति में बताइए कि कौन-सा कोण बड़ा है और क्यों?
(a) ∠AOB या ∠XOY
(b) ∠AOB या ∠XOB
(c) ∠XOB या ∠XOC
अपने मित्रों से चर्चा कीजिए कि आपने यह निर्णय कैसे लिया कि कौन-सा कोण बड़ा है।
हल:
(a) ∠AOB बड़ा है।
(b) ∠AOB बड़ा है।
(c) ∠XOB और ∠XOC बराबर हैं।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। यह केवल प्रेक्षण (देखकर) द्वारा किया गया है।
प्रश्न 3.
कौन-सा कोण बड़ा है: ∠XOY या ∠AOB? कारण बताइए।
हल:
∠XOY बड़ा है। इसका कारण यह है कि इन दोनों कोणों में ∠AOY उभयनिष्ठ है तथा ∠XOA (∠XOY का भाग) > ∠YOB (∠AOB का भाग) है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 29-31)
प्रश्न 1.
आपकी कक्षा की खिड़कियों में कितने समकोण हैं? क्या अपनी कक्षा में आप और समकोण देख सकते हैं?
हल:
चार। हाँ, दरवाजों, मेज की ऊपरी सतह, डस्टर, इत्यादि में।
प्रश्न 2.
बिंदु A को ग्रिड के दूसरे बिंदुओं से एक सरल रेखा में इस प्रकार जोड़ें कि एक सरल कोण प्राप्त हो। इसे करने के विभिन्न तरीके क्या हो सकते हैं?
हल:
पहली ग्रिड में, A को C से जोड़ा गया है तथा इस प्रकार एक सरल कोण CAB बनता है।
दूसरी ग्रिड में A को C और D से जोड़ा गया है। इस प्रकार दो सरल कोणों CAB और ABD बनते हैं।
प्रश्न 3.
अब बिंदु A को ग्रिड के दूसरे बिंदुओं से एक सरल रेखा में इस प्रकार जोड़ें कि एक समकोण प्राप्त हो। इसे करने के विभिन्न तरीके क्या हो सकते हैं?
संकेत- रेखा को आगे बढ़ाएँ, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। A पर समकोण प्राप्त करने के लिए, हमें इससे गुजरने वाली एक रेखा खींचनी होगी, जो सरल कोण CAB को दो बराबर भागों में विभाजित करती हो।
हल:
पहली ग्रिड में, A को C से तथा A को D से जोड़ने पर, हम दो समकोण CAB और DAB प्राप्त करते हैं।
दूसरी ग्रिड में, A को C से और A को D से जोड़ने पर, हम दो सरल कोण CAB और ABD प्राप्त करते हैं।
इन सरल कोणों में से प्रत्येक को समद्विभाजित करने पर, हम A पर चार समकोण EAC, EAB, GAC और GAB तथा B पर चार समकोण ABF, FBD, HBA और HBD प्राप्त करते हैं।
प्रश्न 4.
कागज को घुमाकर (मोड़कर) तिरछा निशान बनाइए। अब एक अन्य निशान बनाइए जो पिछले तिरछे निशान पर लंब हो।
(a) अब आपके पास कितने समकोण हैं? तर्कसंगत उत्तर दीजिए कि ये कोण पूर्णतया समकोण क्यों हैं?
(b) वर्णन कीजिए कि आपने इसे कैसे मोड़ा ताकि जो व्यक्ति इस प्रक्रिया को करना नहीं जानता वह आपकी प्रक्रिया का अनुसरण करके समकोण बना सके।
हल:
(a) हम चार समकोण ROP, POS, QOS और QOR प्राप्त करते हैं। ये सभी कोण बराबर हैं।
(b) हम कागज को इस प्रकार मोड़ते हैं कि तिरछे मोड़ के निशान का बिंदु P बिंदु Q पर पड़े (गिरे)।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 31-32)
प्रश्न 1.
पिछली आकृतियों में न्यून कोण, समकोण, अधिक कोण और सरल कोण को पहचानिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
प्रश्न 2.
कुछ न्यून कोण और अधिक कोण भिन्न दशाओं में बनाइए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। कुछ नीचे दर्शाए अनुसार बना दिए गए हैं:
प्रश्न 3.
क्या आप जानते हैं कि न्यून और अधिक शब्दों का क्या अर्थ है? न्यून का अर्थ नुकीला और अधिक का अर्थ कुंद होता है। आपको क्या लगता है कि इन शब्दों का चयन क्यों किया गया होगा?
हल:
न्यून का चयन इसलिए किया गया है; क्योंकि एक न्यून कोण का कोना नुकीला और अधिक पतला प्रतीत होता है। अधिक का चयन इसलिए किया गया है; क्योंकि एक अधिक कोण का कोना फैला हुआ और कुछ खुला-सा प्रतीत होता है।
प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए कि नीचे दी गई आकृतियों में कितने न्यून कोण हैं:
अगली आकृति क्या होगी और उसमें कितने न्यून कोण होंगे? क्या आप संख्याओं में कोई पैटर्न देखते हैं?
हल:
पहली आकृति में न्यून कोणों की संख्या 3 है; दूसरी आकृति में न्यून कोणों की संख्या 12 है तथा तीसरी आकृति में न्यून कोणों की संख्या 21 है।
अगली आकृति यह हो सकती है:
इस आकृति में, न्यून कोणों की संख्या 30 है। इस प्रकार, इन संख्याओं में पैटर्न, 3, 12, 21, 30,….. अर्थात, 3 × 1, 3 × (1 + 3), 3 × (1 + 2 × 3), 3 × (1 + 3 × 3), …… है। दूसरे शब्दों में, यह 3 × 1, 3 × 4, 3 × 7, 3 × 10, 3 × 13 है।
नोट: कुछ विद्यार्थी अगली आकृति ऐसी खींच सकते हैं, जैसी नीचे दर्शाई गई है:
यहाँ भी न्यून कोणों की संख्या 30 है।
इस प्रकार इस स्थिति में अगली आकृति किन्हीं अन्य विधियों से खींची जा सकती है तथा यह संभव है कि इस प्रश्न का उत्तर अद्वितीय रूप से प्राप्त न हो।
पृष्ठ 34
नीचे दिए गए चित्र में वृत्त को 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 12 भागों में बाँटा गया है। परिणामतः प्राप्त कोणों के डिग्री माप क्या होंगे? निर्देशित कोणों के समीप उनके डिग्री माप लिखिए।
हल:
पहले वृत्त में डिग्री (अंश) माप \(\frac{360^{\circ}}{1}\) = 360° है;
दूसरे वृत्त में डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180° है;
तीसरे वृत्त में, डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{3}\) = 120° है;
चौथे वृत्त में डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{4}\) = 90° है;
पाँचवें वृत्त में डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{5}\) = 72° है;
छठे वृत्त में, डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60° है;
सातवें वृत्त में, डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45° है;
आठवें वृत्त में डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{9}\) = 40° है;
नौवें वृत्त में, डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{10}\) = 36° है
तथा दसवें वृत्त में डिग्री माप \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30° है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 35)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के माप लिखिए-
(a) ∠KAL
ध्यान दीजिए कि इस कोण का शीर्ष बिंदु कोणमापक के केंद्र बिंदु पर संपाती है। अतः KA एवं AL के बीच 1° कोणों की इकाइयों की संख्या से कोण KAL की माप पता चलती है। गिनने पर हम पाते हैं:
∠KAL = 30°.
क्या मध्यम आकार के चिह्नों एवं बड़े आकार के चिह्नों का उपयोग करते हुए 5 या 10 में इकाइयों की संख्या गिनना संभव है?
(b) ∠WAL
(c) ∠TAK
हल:
(b) ∠WAL = 5 × 10° = 50° है।
(c) ∠TAK = 12 × 10° = 120° है।
पृष्ठ 36-37
चित्र में दिए गए विभिन्न कोणों के नाम एवं उनके माप लिखिए।
क्या आपने ∠TOQ जैसे कोण सम्मिलित किए?
आपने आंतरिक या बाहरी अंकित संख्याओं में से किसका उपयोग किया?
∠TOS की माप क्या है?
क्या आप कोण का पता लगाने के लिए चिह्नों की संख्या गिने बिना, चिह्नित संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं?
पाठ्यपुस्तक में दिए गए चित्र में, कोण की भुजाएँ OT एवं OS बाहरी मापक (स्केल) पर संख्याओं 20 एवं 55 से गुजरती हैं। इन दो भुजाओं के बीच 1° कोण की कितनी इकाइयाँ सम्मिलित हैं?
क्या यहाँ घटाने का उपयोग किया जा सकता है?
हल:
विभिन्न कोण ∠POQ, ∠POR, ∠QOR, ∠POS, ∠QOS, ∠ROS, ∠POT, ∠QOT, ∠ROT, ∠SOT, ∠POU, ∠QOU, ∠ROU, ∠SOU, ∠TOU हैं।
इनके माप नीचे दर्शाए अनुसार हैं:
∠POQ = 35°, ∠POR = 95°, ∠QOR = 95° – 35° = 60°, ∠POS = 125°, ∠QOS = 125° – 35° = 90°, ∠ROS = 125° – 95° = 30°, ∠POT = 160°, ∠QOT = 160° – 35° = 125°, ∠ROT = 160° – 95° = 65°, ∠SOT = 160° – 125° = 35°, ∠POU = 180°, ∠QOU = 180° – 35° = 145°, ∠ROU = 180° – 95° = 85°, ∠SOU = 180° – 125° = 55°, ∠TOU = 180° – 160° = 20° हैं।
हाँ, मैंने ∠TOQ को सम्मिलित किया है। आंतरिक अंकित संख्याओं का उपयोग किया है।
∠TOS = 35° है।
∠TOS = 55° – 20° = 35° (बाहरी अंकित संख्याओं के उपयोग से) है।
हाँ, यहाँ घटाने का उपयोग किया जा सकता है।
पृष्ठ 37
हम कैसे बिना घटाए कोणों की माप सीधे ज्ञात कर सकते हैं?
कोणमापक (चाँदा) का केंद्र बिंदु कोण के शीर्षबिंदु पर रखिए।
कोणमापक को इस तरह से रखिए कि कोण की एक भुजा 0° कोण के चिह्न से होकर गुजरे, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
∠AOB कितने अंश (डिग्री) का कोण है?
हल:
∠AOB की डिग्री माप 80° है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 40-43)
प्रश्न 1.
चाँदे का प्रयोग करते हुए निम्न कोणों के डिग्री माप ज्ञात कीजिए?
हल:
(i) ∠IHJ = 45°
(ii) ∠IHJ = 222°
(iii) ∠IHJ = 110°
प्रश्न 2.
चाँदे का प्रयोग करते हुए अपनी कक्षा में दिख रहे विभिन्न कोणों के डिग्री माप ज्ञात कीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
प्रश्न 3.
नीचे दिए गए कोणों के अंश माप ज्ञात कीजिए। जाँच कीजिए की क्या यहाँ कागज के चाँदे का प्रयोग कर सकते हैं!
हल:
(i) ∠IHJ = 40°
(ii) ∠IHJ = 120°
प्रश्न 4.
नीचे दिए गए कोण का अंश माप चाँदे का प्रयोग करके किस प्रकार निकाला जा सकता है?
हल:
हम एक चाँदे का उपयोग करते हुए, छोटे कोण को मापेंगे तथा फिर वाँछित कोण की माप प्राप्त करने के लिए, इस छोटे कोण की माप को 360° में से घटा देंगे। यह 360° – 100° = 260° के बराबर है।
प्रश्न 5.
निम्न कोणों को मापिए और प्रत्येक का डिग्री माप लिखिए।
हल:
(a) कोण = 80°
(b) कोण = 120°
(c) कोण = 60°
(d) कोण = 140°
(e) कोण = 130°
(f) कोण = 60°
प्रश्न 6.
∠BXE, ∠CXE, ∠AXB और ∠BXC के अंश माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∠BXE = 115; ∠CXE = 85°; ∠AXB = 65° और ∠BXC = 95° – 65° = 30° है।
प्रश्न 7.
∠PQR, ∠PQS और ∠PQT के अंश माप ज्ञात कीजिए।
हल:
∠PQR = 45°; ∠PQS = 100° और ∠PQT = 160° है।
प्रश्न 8.
दिए गए निदेशों के अनुसार पेपर क्राफ्ट बनाइए। अब कागज को पूरा खोलिए। मोड़े जाने पर प्राप्त निशानों पर रेखाएँ खींचिए और इस प्रकार बने कोणों को मापिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। यह क्रियाकलाप गणित प्रयोगशाला में किया जा सकता है।
प्रश्न 9.
आकृति 2.21(a) में बने त्रिभुज के तीनों कोणों को मापिए और संबंधित कोण के नीचे उसका माप लिखिए। तीनों मापों को जोड़िए। क्या प्राप्त होता है? इस प्रकिया का आकृति 2.21(b) और (c) के लिए भी प्रयोग कीजिए। अन्य त्रिभुजों पर भी इस प्रकिया का प्रयोग कीजिए। फिर सामान्य तौर पर क्या होता है इसका अनुमान लगाइए। हम आगे की कक्षाओं में जानेंगे कि ऐसा क्यों हुआ।
हल:
आकृति (a) में, ∠A = 45°; ∠B = 65° और ∠C = 70° है।
आकृति (b) में, ∠A = 50°; ∠B = 65° और ∠C = 65° है।
आकृति (c) में, ∠A = 30°; ∠B = 55° और ∠C = 95° है।
अनुमान इन त्रिभुजों में से प्रत्येक में तीनों कोणों का योग 180° है।
गलतियाँ देखिए, गलतियाँ सुधारिए (पृष्ठ 44)
एक विद्यार्थी ने नीचे दिखाए गए कोणों की माप एक चाँदे का प्रयोग करके की। प्रत्येक चित्र में चाँद के गलत प्रयोग को पहचानिए और चर्चा कीजिए कि माप कैसे करना चहिए और उन्हें कैसे सुधार सकते हैं।
हल:
(i) में, कोण U की निचली भुजा को चाँदे की 0–0 रेखा के साथ संपाती होना चाहिए। यहाँ ∠U = 60° है।
(ii) में, कोण V की निचली भुजा को चाँदे की 0–0 रेखा के साथ संपाती होना चाहिए। यहाँ ∠V = 70° है।
(iii) में, कोण के शीर्ष W को चाँदे के केंद्र-बिंदु के साथ संपाती होना चाहिए तथा एक भुजा को चाँदे की 0-0 रेखा के साथ संपाती होना चाहिए। यहाँ ∠W = 75° है।
(iv) में, कोण के शीर्ष X को चाँदे के केंद्र बिंदु के साथ संपाती होना चाहिए। यहाँ ∠X = 20° है।
(v) में, कोण के शीर्ष Y को चाँदे के केंद्र बिंदु के साथ संपाती होना चाहिए तथा एक भुजा को चाँदे की 0–0 रेखा के साथ संपाती होना चाहिए। यहाँ ∠Y = 150° है।
(vi) में, कोण Z को चाँदे के बाहरी स्केल द्वारा मापा जाना चाहिए। यहाँ ∠Z = 105° है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 45-46)
कोण कहाँ हैं?
प्रश्न 1.
घड़ी में कोण-
(a) घड़ी की सुइयाँ अलग-अलग समय पर भिन्न कोण बनाती हैं। 1 बजे सुइयों के बीच 30° का कोण होता है। क्यों?
हल:
इसका कारण यह है कि 1 बजे घड़ी की भुजाओं (सुइयों) द्वारा बनाया गया कोण 360° को 12 से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30° है।
(b) 2 बजे कोण कितना होगा? और 4 बजे? 6 बजे?
हल:
2 बजे, कोण \(\frac{360^{\circ}}{12}\) × 2 = 60° है।
4 बजे, कोण \(\frac{360^{\circ}}{12}\) × 4 = 120° होगा
तथा 6 बजे यह कोण \(\frac{360^{\circ}}{12}\) × 6 = 180° होगा।
(c) घड़ी की सुइयों द्वारा बने अन्य कोणों को ढूँढ़िए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
प्रश्न 2.
एक दरवाजे का कोण-
क्या ऐसा संभव है कि कोण का प्रयोग कर यह बतया जा सके कि दरवाजा कितना खुला है? कोण का शीर्ष और कोण की भुजाएँ क्या होंगी?
हल:
हाँ, इस कोण का शीर्ष क्षैतिज आधार और दरवाजे के पतले- बाहरी किनारे का प्रतिच्छेद बिंदु होगा।
क्षैतिज आधार और दरवाजे का पतला बाहरी किनारा इस कोण की भुजाएँ होंगी।
प्रश्न 3.
विद्या झूले पर अपना समय आनंद से बिता रही है। उसने ध्यान दिया कि जब उसने झूलना शुरू किया तो जितना बड़ा कोण है, उतनी ही अधिक
गति वह झूले पर अर्जित कर रही है। लेकिन यहाँ कोण है कहाँ? क्या आप यहाँ पर किसी कोण को देख सकते हैं?
हल:
जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, कोण पेड़ की शाखा तथा विद्या द्वारा थामी (पकड़ी) डोरी या रस्सी द्वारा बन रहा है।
प्रश्न 4.
यहाँ एक खिलौने के दोनों ओर तिरछे तख्ते (slanting slab) लगे हैं, जितना अधिक कोण या तख्ते का झुकाव होगा उतनी ही तेजी से गेंद लुढ़कती है। क्या कोणों का प्रयोग तख्तों के झुकाव के वर्णन में किया जा सकता है? प्रत्येक कोण की भुजाएँ क्या होंगी? कौन-सी भुजा दिखाई देगी और कौन-सी नहीं?
हल:
हाँ। इन कोणों में से प्रत्येक में एक भुजा खिलौने का ऊर्ध्वाधर किनारा होगा तथा दूसरी भुजा तिरछा तख्ता होगा। तिरछा तख्ता दिखाई देगा, जबकि खिलौने का ऊर्ध्वाधर किनारा दिखाई नहीं देगा।
प्रश्न 5.
नीचे दिए गए चित्रों का अवलोकन कीजिए जिनमें एक कीट एवं उसकी घुमायी गई स्थितयाँ दी गई हैं। क्या घूर्णन (घुमाव ) की मात्रा बताने के लिए कोणों का उपयोग किया जा सकता है? यदि हाँ, तो कैसे? कोण का शीर्ष-बिंदु एवं उसकी भुजाएँ कौन-सी होंगी?
[संकेत-कीट को छूकर जाती हुई क्षैतिज रेखा को देखिए।]
हल:
हाँ। दी हुई प्रत्येक आकृति में एक-चौथाई घूर्णन एक समकोण के बराबर घूर्णन को बताता है। दोनों आकृतियों में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ कोण की भुजाएँ हैं। साथ ही, प्रत्येक कीट का आधार इस कोण का शीर्ष-बिंदु है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 49-50)
प्रश्न 1.
आकृति 2.23 में दर्शाए सभी संभव कोणों की सूची बनाइए। क्या आप उन सभी को ढूँढ़ पाए? अब सभी कोणों के माप का अनुमान लगाइए। इसके पश्चात् चाँदे की सहायता से कोणों का माप देखिए। अपनी सभी संख्याओं (डिग्री माप) को एक सारणी में अंकित कीजिए। देखिए आपके अनुमानित उत्तर सही माप के कितने समीप हैं।
हल:
संभव कोण ∠PAC, ∠ACD, ∠APL, ∠PLD, ∠PLS, ∠PRS, ∠RSL, ∠RPL और ∠BRS हैं। हाँ।
प्रश्न 2.
चाँदे की सहायता से निम्न डिग्री माप के कोण बनाइए-
(a) 110°
(b) 40°
(c) 75°
(d) 112°
(e) 134°
नोट – निर्देशानुसार (a), (b), (c), (d) और (e) को कीजिए।
प्रश्न 3.
एक कोण बनाइए जिसका डिग्री माप नीचे दिए गए कोण के समान हो।
इस कोण को बनाने में प्रयुक्त सभी चरणों को भी लिखिए।
हल:
∠IHJ की डिग्री माप 120° है। एक कोण ∠MON = 120° बनाने के लिए, उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए, जो पुस्तक के पृष्ठों 47-48 में 30° के कोण को खींचने के लिए दिए गए हैं। अंतर केवल यह है कि किरण IN के स्थान पर किरण ON से प्रारंभ कीजिए तथा अंत में चाँदे पर 30° चिह्न के स्थान पर 120° चिह्न पर बिंदु M अंकित कीजिए।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 51-52)
प्रश्न 1.
नीचे दिए गए प्रत्येक ग्रिड में, बिंदु A को ग्रिड के दूसरे बिंदुओं से एक सरल रेखा से इस प्रकार मिलान कीजिए कि हमें:
(a) एक न्यून कोण प्राप्त हो।
(b) एक अधिक कोण प्राप्त हो।
(c) एक प्रतिवर्ती कोण प्राप्त हो।
कोणों को चाप द्वारा अंकित कीजिए जिससे इच्छित कोणों की पहचान हो सके। एक आपके लिए किया गया है।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
हल:
(a) एक न्यून कोण प्राप्त हो।
་
(b) एक अधिक कोण प्राप्त हो।
(c) एक प्रतिवर्ती कोण प्राप्त हो।
प्रश्न 2.
चाँबे की सहायता से प्रत्येक कोण का माप निकालिए। प्रत्येक कोण को न्यून कोण, अधिक कोण समकोण या प्रतिवर्ती कोण में वर्गीकृत कीजिए।
(a) ∠PTR
(b) ∠PTQ
(c) ∠PTW
(d) ∠WTP
हल:
(a) ∠PTR = 30°; न्यून कोण है।
(b) ∠PTQ = 60°; न्यून कोण है।
(c) ∠PTW = 100°; अधिक कोण है।
(d) ∠WTP = 260°; प्रतिवर्ती कोण है।
आइए खोजें! (पृष्ठ 53)
इस चित्र में, ∠TER = 80°, ∠BET का माप क्या होगा? ∠SET का माप क्या होगा?
हल:
∠BET की माप = 180° – ∠TER = 180° – 80° = 100° है।
∠SET की माप = ∠RES – ∠TER = 90° – 80° = 10° है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 53-54)
प्रश्न 1.
निम्न अंश माप वाले कोणों को बनाइए-
(a) 140°
(b) 82°
(c) 195°
(d) 70°
(e) 35°
नोट- चाँदे का उपयोग करते हुए, (a), (b), (c), (d) और (e) के लिए, निर्देशानुसार कीजिए।
प्रश्न 2.
प्रत्येक कोण के माप का अनुमान लगाइए और फिर चाँदे से मापिए-
इन कोणों को न्यून कोण, अधिक कोण, समकोण और प्रतिवर्ती कोणों में वर्गीकृत कीजिए।
हल:
(a) 45°; न्यून कोण है।
(b) 170°; अधिक कोण है।
(c) 120°; अधिक कोण है।
(d) 30°; न्यून कोण है।
(e) 100° अधिक कोण है।
(f) 350°; प्रतिवर्ती कोण है।
प्रश्न 3.
एक आकृति बनाइए जिसमें तीन न्यून कोण, एक समकोण और दो अधिक कोण हों।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। एक आकृति नीचे दर्शाए अनुसार खींची गई है:
यहाँ ∠EBF, ∠FBD और ∠DBC तीन न्यून कोण हैं;
∠EBA एक समकोण है तथा दो अधिक कोण ∠CBA और ∠DBA हैं।
प्रश्न 4.
अक्षर M को इस प्रकार बनाइए कि दोनों ओर के कोण 40° के हों और मध्य में कोण 60° का हो।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। अक्षर ‘
‘ में ‘
‘ द्वारा अंकित कोण 40° के होने चाहिए तथा ‘
‘ द्वारा अंकित कोण 60° का होना चाहिए।
प्रश्न 5.
अक्षर Y को इस प्रकार बनाइए कि 150, 60° और 150° के तीन कोण बनें।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। अक्षर ‘
‘, में दो अधिक कोण ‘
‘ और ‘
‘ 150° के होने चाहिए तथा न्यून कोण ‘
‘ 60° का होना चाहिए।
प्रश्न 6.
अशोक चक्र में 24 तीलियाँ होती हैं। दो संलग्न तीलियों के बीच कितने अंश माप का कोण होगा? दो तीलियों के बीच सबसे बड़ा न्यून कोण क्या होगा?
हल:
दो संलग्न तीलियों के बीच का कोण \(\frac{360^{\circ}}{24}\) = 15° है।
दो तीलियों के बीच में बनने वाला सबसे बड़ा न्यून कोण 5 × 15° = 75° है। इसका कारण यह है कि अगली तीली के बाद कोण 6 × 15° = 90° होगा, जो एक समकोण है।
प्रश्न 7.
पहेली- मैं एक न्यून कोण हूँ। यदि आप मेरे माप को दोगुना करते हो तो आपको न्यून कोण ही प्राप्त होता है। यदि आप मेरे माप को तीन गुना करते हो तो पुनः न्यून कोण प्राप्त होगा। यदि आप मेरे माप को चार गुना करते हो तो भी पुनः न्यून कोण ही प्राप्त होगा। पर यदि आप मेरे माप को पाँच से गुना करते हो तो एक अधिक कोण प्राप्त होगा। मेरे कोणों के संभावित माप क्या होंगे?
हल:
हम जानते हैं कि 18° × 5 = 90° है, जो एक समकोण है। अतः, वाँछित कोण 18° से अधिक होना चाहिए। इस प्रकार कोण 19°, 20°, 21, 22, 23°, ….. हो सकता है। परंतु 23° × 4 = 92° है, जो एक अधिक कोण है। अतः 23° यह कोण नहीं हो सकता है। इस प्रकार, इस पहेली को संतुष्ट करने वाले कोणों के पूर्णांकीय मान 19°, 20°, 21° और 22° हैं।
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